随机变量的数字特征

定义：这些用来描述随机变量统计特征的数字，称为随机变量的数字特征。

最常用的数字特征有：数学期望(均值)、方差、相关系数和矩。

数学期望 E(x)

（Expectation）

定义

设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P\{X=x_k\}=p_k,\quad (k=1,2,\ldots)$ ，若级数 $\sum\limits_{k=1}^\infty x_kp_k$ 绝对收敛，则称级数 $\sum\limits_{k=1}^\infty x_kp_k$ 的和为 $X$ 的数学期望（均值），记为 $E(X)$ ；

设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$ ，若积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$ 绝对收敛，则称级数 $\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$ 的和为 $X$ 的数学期望（==均值==），记为 $E(X)$ ；

例

性质

$E(C)=C$
$E(CX)=CE(X)$
$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$

六个常见随机变量的数学期望

（0-1）分布

E(X)=p

二项分布 $B(n,p)$

E(X)=np

泊松分布 $\pi(\lambda)$

E(X)=\lambda

均匀分布 $U(a,b)$

E(X)=\cfrac{a+b}{2}

指数分布 $e(\lambda)$

E(X)=\cfrac{1}{\lambda}

正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$

E(X)=\mu

随机变量的函数的数学期望

$X$ 为离散型的， $Y=g(X)$ 的均值

若 $X$ 的分布律为 $P\{X=x_i\}=p_i\quad (i=1,2,\ldots)$ ，则
$E(Y)=\sum\limits_{i=1}^\infty g(x_i)p_i$
$(X,Y)$ 为离散型的， $Z=g(X,Y)$ 的均值

若 $(X,Y)$ 的分布律为 $P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{i,j}\quad (i,j=1,2,\ldots)$ ，则
$E(Z)=\sum\limits_{i,j}g(x_i,y_i)p_{i,j}$
$X$ 为连续型的， $Y=g(X)$ 的均值

若 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)$ ，则
$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f_X(x)dx$
$(X,Y)$ 为连续型的， $Z=g(X,Y)$ 的均值

若 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$ ，则
$E(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy$

例

方差 D(X)

(Variance)

定义

设 $X$ 是一个对随机变量，若 $E\{[X-E(X)]^2\}$ 存在，则称其为 $X$ 的方差，记为 $D(X)$ 或 $Var(X)$

称 $\sqrt{D(X)}$ 为标准差或均方差，记为 $\sigma(X)$

认识

标准差、方差越大，离散程度越大，若 $X$ 的取值比较集中，则方差 $D(X)$ 较小,若 $X$ 的取值比较分散，则方差 $D(X)$ 较大。因此， $D(X)$ 是刻画 $X$ 取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度
==公式==

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

性质

$D(C)=0$
$D(CX)=C^2D(X)$
$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$

若 $X$ ， $Y$ 相互独立，则有 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$ ，又有 $D(X-Y)=D(X)+D(Y)$